google-site-verification: google800d11325e197cc3.html Matematikkens Verden: De store talls lov (ikke-uniform sannsynlighet)

De store talls lov (ikke-uniform sannsynlighet)

Vi kan regne ut sannsynligheter i uniforme modeller ved å dividere antall gunstige utfall på antall mulige. Men hvordan skal vi finne en sannsynlighet når modellen ikke er uniform?





Vi illustrerer det med å kaste en tegnestift. Her er det bare to enkeltutfall:
A: Å lande med spissen opp
B: Å lande med spissen ned

Det er opplagt at de to enkelttilfellene ikke trenger å være like sannsynlige - derfor er sannsynligheten ikke-uniform.


Når vi skal undersøke sannsynligheten for at tegnestiften havner med spissen opp, kaster vi den om og om igjen. Resultatet avhenger av hva slags tegnestift vi bruker. Tabellen nedenfor viser resultatet vi fikk når vi brukte en type tegnestift (se bildet) og regnet ut den relative frekvensen





Til å begynne med ser vi at den relative frekvensen varierer nokså mye. Men når vi kaster mange ganger, stabiliserer den relative frekvensen seg på ca. 0,56.

Det betyr sannsynligheten for at tegnestiften havner med siden opp blir:
P (A) = 0,56 = 56 %
I det lange løp vil 56 % av kastene havne med spissen opp. Altså vil 44 % (100 % - 56 %) av kastene havne med spissen ned
P (B) = 0,44 = 44 %

Kast med tegnestift har bare de to enkeltutfallene A og B. I dette tilfellet er de ikke like sannsynlige. 

Kast med tegnestift er et eksempel på en modell som ikke er uniform.






OPPGAVER


Oppgave 1
Gruppeoppgave. Dere skal finne sannsynligheten for at en tegnestift lander med spissen opp når den kastes på et bord.
Kast tegnestiften 100 ganger.
a) Hva er den relative frekvensen for at tegnestiften lander med spissen opp på 100 kast?
b) Omtrent hvor stor er sannsynligheten for at tegnestiften lander med spissen opp når dere kaster en tegnestift?

Oppgave 2
Gruppeoppgave. Dere skal finne sannsynligheten for å få mynt når dere kaster et pengestykke på et bord.
Kast pengestykket 100 ganger
a) Hva er den relative frekvensen for å få mynt på 100 kast?
b) Omtrent hvor stor er sannsynligheten for å få mynt når dere kaster et pengestykke?

Oppgave 3
Gruppeoppgave. Dere skal finne sannsynligheten for å en sekser når dere kaster en terning på et bord.
Kast terningen 100 ganger
a) Hva er den relative frekvensen for å en sekser  på 100 kast?
b) Omtrent hvor stor er sannsynligheten for å få en sekser når dere kaster en terning?

Oppgave 4
Gruppeoppgave - diskusjon
Sebastian kaster en terning tolv ganger og får bare en sekser. Han påstår at terningen må være defekt. Er dere enig?

Oppgave 5
Jacob kaster to terninger og noterer hvor mange ganger summen blir 7.
a) Skriv av tabellen i arbeidsboka di og regn ut den relative frekvensen for at summen blir 7. Illustrer den relative frekvensen i et koordinatsystem.


b) Hva vil du oppgi som  sannsynligheten for at summen skal bli lik 7 når Jacob har kastet to terninger?

Oppgave 6
I Norge fordeler blodtypene i AB0-systemet seg slik: Ca. 48 % har blodtype A, 8 % blodtype B, 4 % blodtype AB og 40 % blodtype 0.
Er dette en uniform sannsynlighetsmodell? Diskuter med læringspartner og forklar.

Oppgave 7
Av 10 000 tilfeldige utvalgte menn viser det seg at 698 er fargeblinde. Hva er sannsynligheten for at en mann er fargeblind? Omtrent hvor mange fargeblinde er det blant 88 940 menn?

Oppgave 8
En maskin produserer fiskekroker. Av 50 000 kroker som blir kontrollert viser det seg at 1 113 har feil og må kastes.
a) Finn sannsynligheten for at en krok må kastes.
b) Hvor mange kroker må kastes av 90 000?
c) Hvor mange kroker må kastes av 40?
d) En dag måtte en kaste 1 730 kroker. Hvor mange kroker ble det produsert den dagen?